CakeEating 2periods

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.24.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D2.0.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0A%22%22%22Interactive%20companion%20to%20the%20two-period%20cake-eating%20lecture%0A%0ARun%20from%20the%20course%20workspace%20with%0A%0A%20%20%20%20.venv%2FScripts%2Fmarimo%20run%20Topics%2F03-Frictionless-Markets%2F01_CakeEating_2periods_marimo.py%0A%22%22%22%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22seaborn-v0_8-whitegrid%22)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Cake%20eating%20in%20two%20periods%0A%0A%20%20%20%20A%20person%20begins%20with%20%24K_0%3E0%24%20units%20of%20cake%20and%20chooses%20consumption%20today%2C%0A%20%20%20%20%24C_0%24%2C%20and%20tomorrow%2C%20%24C_1%24.%20Cake%20does%20not%20grow%20or%20depreciate%2C%20and%20no%20cake%0A%20%20%20%20is%20valuable%20after%20tomorrow%2C%20so%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20C_0%2BC_1%3DK_0%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Lifetime%20utility%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20U(C_0%2CC_1)%3D%5Clog%20C_0%2B%5Cbeta%5Clog%20C_1%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%200%3C%5Cbeta%5Cleq%201%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20controls%20to%20connect%20the%20allocation%2C%20preferences%2C%20and%20tangency%0A%20%20%20%20condition%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20allocation(beta%2C%20k0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20analytical%20optimum%20(C0*%2C%20C1*)%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20k0%20%2F%20(1%20%2B%20beta)%2C%20beta%20*%20k0%20%2F%20(1%20%2B%20beta)%0A%0A%20%20%20%20def%20utility(c0%2C%20c1%2C%20beta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20lifetime%20utility%20under%20log%20preferences%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.log(c0)%20%2B%20beta%20*%20np.log(c1)%0A%0A%20%20%20%20def%20indifference_c1(c0%2C%20utility_level%2C%20beta)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20C1%20on%20the%20indifference%20curve%20indexed%20by%20utility_level%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp((utility_level%20-%20np.log(c0))%20%2F%20beta)%0A%0A%20%20%20%20return%20allocation%2C%20indifference_c1%2C%20utility%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Divide%20the%20cake%0A%0A%20%20%20%20Select%20**Choose%20%24C_0%24%20manually**%20to%20divide%20the%20cake%20yourself.%20Under%20a%0A%20%20%20%20manual%20allocation%2C%20choose%20whether%20to%20hold%20%24C_0%24%20fixed%20in%20units%20or%20as%20a%0A%20%20%20%20share%20of%20%24K_0%24%20as%20you%20change%20the%20initial%20cake.%20Select%20**Use%20the%20optimal%0A%20%20%20%20split**%20to%20let%20the%20model%20apply%20the%20first-order%20condition%20%24C_1%2FC_0%3D%5Cbeta%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20split_rule%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Choose%20C%E2%82%80%20manually%22%3A%20%22manual%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Use%20the%20optimal%20split%22%3A%20%22optimal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Choose%20C%E2%82%80%20manually%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22How%20should%20the%20cake%20be%20divided%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20initial_cake%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Initial%20cake%20%24K_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20beta_input%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Discount%20factor%20%24%5Cbeta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20manual_allocation_rule%20%3D%20mo.ui.radio(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Hold%20C%E2%82%80%20fixed%20in%20units%22%3A%20%22units%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Hold%20C%E2%82%80%20fixed%20as%20a%20share%20of%20K%E2%82%80%22%3A%20%22share%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Hold%20C%E2%82%80%20fixed%20in%20units%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22When%20K%E2%82%80%20changes%2C%20manual%20allocation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20c0_units%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D39.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D11%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Consumption%20today%20%24C_0%24%20(units)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20today_share%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D55%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Share%20consumed%20today%20%24100C_0%2FK_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta_input%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c0_units%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_cake%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20manual_allocation_rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20split_rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20today_share%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20allocation%2C%0A%20%20%20%20beta_input%2C%0A%20%20%20%20c0_units%2C%0A%20%20%20%20initial_cake%2C%0A%20%20%20%20manual_allocation_rule%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20split_rule%2C%0A%20%20%20%20today_share%2C%0A%20%20%20%20utility%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20float(beta_input.value)%0A%20%20%20%20_k0%20%3D%20float(initial_cake.value)%0A%20%20%20%20if%20split_rule.value%20%3D%3D%20%22optimal%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c0%2C%20_c1%20%3D%20allocation(_beta%2C%20_k0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rule_note%20%3D%20r%22The%20first-order%20condition%20determines%20the%20split%22%0A%20%20%20%20elif%20manual_allocation_rule.value%20%3D%3D%20%22units%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c0%20%3D%20min(float(c0_units.value)%2C%20_k0%20-%200.1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c1%20%3D%20_k0%20-%20_c0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rule_note%20%3D%20r%22%24C_0%24%20is%20held%20fixed%20in%20units%20while%20feasible%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c0%20%3D%20_k0%20*%20today_share.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c1%20%3D%20_k0%20-%20_c0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rule_note%20%3D%20r%22The%20share%20of%20%24K_0%24%20consumed%20today%20is%20held%20fixed%22%0A%0A%20%20%20%20_u0%20%3D%20np.log(_c0)%0A%20%20%20%20_u1%20%3D%20np.log(_c1)%0A%20%20%20%20_lifetime_u%20%3D%20utility(_c0%2C%20_c1%2C%20_beta)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.3%2C%205.2))%0A%20%20%20%20_wedges%2C%20_texts%2C%20_autotexts%20%3D%20_ax.pie(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_c0%2C%20_c1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20labels%3D%5Br%22Today%20%20%24C_0%24%22%2C%20r%22Tomorrow%20%20%24C_1%24%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20autopct%3D%22%251.1f%25%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20startangle%3D90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20colors%3D%5B%22%23006298%22%2C%20%22%23e57200%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wedgeprops%3D%7B%22edgecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22linewidth%22%3A%202%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textprops%3D%7B%22fontsize%22%3A%2011%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(fr%22Dividing%20%24K_0%3D%7B_k0%3Ag%7D%24%20units%20of%20cake%22)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_readout%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20split_rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20initial_cake%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_input%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20manual_allocation_rule%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20c0_units%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20today_share%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Utility%20readout%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Today%3A%20%24C_0%3D%7B_c0%3A.2f%7D%24%20units%2C%20which%20is%20%24100C_0%2FK_0%3D%7B100%20*%20_c0%20%2F%20_k0%3A.1f%7D%5C%25%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Tomorrow%3A%20%24C_1%3D%7B_c1%3A.2f%7D%24%20units%2C%20which%20is%20%24100C_1%2FK_0%3D%7B100%20*%20_c1%20%2F%20_k0%3A.1f%7D%5C%25%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Utility%20today%3A%20%24%5Clog%20C_0%3D%5Clog(%7B_c0%3A.2f%7D)%3D%7B_u0%3A.3f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Utility%20tomorrow%3A%20%24%5Clog%20C_1%3D%5Clog(%7B_c1%3A.2f%7D)%3D%7B_u1%3A.3f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Aggregate%3A%20%24U%3D%5Clog%20C_0%2B%5Cbeta%5Clog%20C_1%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Numerically%3A%20%24U%3D%7B_u0%3A.3f%7D%2B(%7B_beta%3A.2f%7D)(%7B_u1%3A.3f%7D)%3D%7B_lifetime_u%3A.3f%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_rule_note%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B_fig%2C%20_readout%5D%2C%20widths%3D%5B1.35%2C%201%5D%2C%20align%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Indifference%20curves%0A%0A%20%20%20%20Holding%20lifetime%20utility%20at%20%24%5Cbar%20U%24%20gives%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20C_1%3D%5Cexp%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cbar%20U-%5Clog%20C_0%7D%7B%5Cbeta%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Every%20point%20on%20a%20curve%20gives%20the%20same%20lifetime%20utility.%20Higher%20curves%20are%0A%20%20%20%20preferred%20because%20they%20correspond%20to%20higher%20values%20of%20%24%5Cbar%20U%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20ubar_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Central%20utility%20level%20%24%5Cbar%20U%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20beta_curves%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Discount%20factor%20%24%5Cbeta%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20curve_range%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Axis%20maximum%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20beta_curves%2C%20curve_range%2C%20ubar_control%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(beta_curves%2C%20curve_range%2C%20indifference_c1%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20ubar_control)%3A%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20float(beta_curves.value)%0A%20%20%20%20_ubar%20%3D%20float(ubar_control.value)%0A%20%20%20%20_axis_max%20%3D%20float(curve_range.value)%0A%20%20%20%20_c0_grid%20%3D%20np.linspace(0.05%2C%20_axis_max%2C%20800)%0A%20%20%20%20_levels%20%3D%20%5B_ubar%20-%201%2C%20_ubar%2C%20_ubar%20%2B%201%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7.2%2C%205.2))%0A%20%20%20%20for%20_level%2C%20_color%2C%20_width%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_levels%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22%237f8c8d%22%2C%20%22%23006298%22%2C%20%22%23e57200%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.8%2C%203.0%2C%201.8%5D%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c1_curve%20%3D%20indifference_c1(_c0_grid%2C%20_level%2C%20_beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_visible%20%3D%20_c1_curve%20%3C%3D%20_axis_max%20*%201.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_c0_grid%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_c1_curve%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D_width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dfr%22%24%5Cbar%20U%3D%7B_level%3A.1f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%20_axis_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%20_axis_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Consumption%20today%20%24C_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Consumption%20tomorrow%20%24C_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dfr%22Indifference%20curves%20when%20%24%5Cbeta%3D%7B_beta%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_ax.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_panel%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ubar_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_curves%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20curve_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Current%20curve%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Central%20level%3A%20%24%5Cbar%20U%3D%7B_ubar%3A.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Discount%20factor%3A%20%24%5Cbeta%3D%7B_beta%3A.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Slope%3A%20%24%5Cdfrac%7B%7BdC_1%7D%7D%7B%7BdC_0%7D%7D%3D-%5Cdfrac%7B%7BC_1%7D%7D%7B%7B%5Cbeta%20C_0%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20larger%20%24%5Cbeta%24%20places%20more%20weight%20on%20tomorrow's%20consumption%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B_fig%2C%20_panel%5D%2C%20widths%3D%5B1.45%2C%201%5D%2C%20align%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Budget%20constraint%20and%20tangency%0A%0A%20%20%20%20The%20budget%20line%20is%20%24C_1%3DK_0-C_0%24%2C%20with%20slope%20%24-1%24.%20At%20the%20interior%20optimum%2C%0A%20%20%20%20the%20indifference%20curve%20has%20the%20same%20slope%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20-%5Cfrac%7BC_1%5E*%7D%7B%5Cbeta%20C_0%5E*%7D%3D-1%0A%20%20%20%20%5Cqquad%5CLongleftrightarrow%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BC_1%5E*%7D%7BC_0%5E*%7D%3D%5Cbeta%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20k0_tangency%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Initial%20cake%20%24K_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20beta_tangency%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Discount%20factor%20%24%5Cbeta%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis_max_tangency%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Axis%20maximum%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20show_neighboring_curves%20%3D%20mo.ui.switch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Show%20neighboring%20indifference%20curves%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis_max_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k0_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_neighboring_curves%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20allocation%2C%0A%20%20%20%20axis_max_tangency%2C%0A%20%20%20%20beta_tangency%2C%0A%20%20%20%20indifference_c1%2C%0A%20%20%20%20k0_tangency%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20show_neighboring_curves%2C%0A%20%20%20%20utility%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20float(beta_tangency.value)%0A%20%20%20%20_k0%20%3D%20float(k0_tangency.value)%0A%20%20%20%20_axis_max%20%3D%20float(axis_max_tangency.value)%0A%20%20%20%20_c0_star%2C%20_c1_star%20%3D%20allocation(_beta%2C%20_k0)%0A%20%20%20%20_u_star%20%3D%20utility(_c0_star%2C%20_c1_star%2C%20_beta)%0A%20%20%20%20_c0_grid%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%20_axis_max%2C%20900)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7.2%2C%205.5))%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20_k0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_k0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Budget%20line%20%24C_0%2BC_1%3DK_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%20show_neighboring_curves.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_shift%2C%20_style%20in%20%5B(-0.7%2C%20%22--%22)%2C%20(0.7%2C%20%22%3A%22)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_curve%20%3D%20indifference_c1(_c0_grid%2C%20_u_star%20%2B%20_shift%2C%20_beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_visible%20%3D%20_curve%20%3C%3D%20_axis_max%20*%201.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_c0_grid%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_curve%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239aa0a6%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D_style%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dfr%22%24%5Cbar%20U%3DU%5E*%7B_shift%3A%2B.1f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_tangent_curve%20%3D%20indifference_c1(_c0_grid%2C%20_u_star%2C%20_beta)%0A%20%20%20%20_visible%20%3D%20_tangent_curve%20%3C%3D%20_axis_max%20*%201.2%0A%20%20%20%20_ax.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_c0_grid%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tangent_curve%5B_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23006298%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Tangent%20curve%20%24%5Cbar%20U%3DU%5E*%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_c0_star%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_c1_star%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23e57200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Optimal%20allocation%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fr%22%24(%7B%20_c0_star%3A.2f%7D%2C%5C%20%7B_c1_star%3A.2f%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_c0_star%2C%20_c1_star)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(10%2C%2012)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0%2C%20_axis_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0%2C%20_axis_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Consumption%20today%20%24C_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Consumption%20tomorrow%20%24C_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Feasibility%20and%20the%20utility-maximizing%20tangency%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D9%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_mrs%20%3D%20_c1_star%20%2F%20(_beta%20*%20_c0_star)%0A%20%20%20%20_panel%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k0_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis_max_tangency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20show_neighboring_curves%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Optimal%20allocation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24C_0%5E*%3D%5Cdfrac%7B%7BK_0%7D%7D%7B%7B1%2B%5Cbeta%7D%7D%3D%7B_c0_star%3A.3f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24C_1%5E*%3D%5Cdfrac%7B%7B%5Cbeta%20K_0%7D%7D%7B%7B1%2B%5Cbeta%7D%7D%3D%7B_c1_star%3A.3f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24U%5E*%3D%5Clog%20C_0%5E*%2B%5Cbeta%5Clog%20C_1%5E*%3D%7B_u_star%3A.3f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Budget%20slope%3A%20%24-1%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Indifference-curve%20slope%20at%20the%20optimum%3A%20%24-%7B_mrs%3A.3f%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20two%20slopes%20coincide%2C%20so%20the%20highest%20attainable%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indifference%20curve%20is%20tangent%20to%20the%20budget%20line%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B_fig%2C%20_panel%5D%2C%20widths%3D%5B1.45%2C%201%5D%2C%20align%3D%22start%22%2C%20gap%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A