Numerical Functions Illustrations

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.25.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%22%22%22Interactive%20illustrations%20of%20the%20bisection%20and%20Newton%E2%80%93Raphson%20methods.%0A%0ARun%20from%20the%20workspace%20root%20with%3A%0A%0A%20%20%20%20.venv%2Fbin%2Fmarimo%20run%20Topics%2F02-Growth%2FNumerical_Functions_Illustrations.py%0A%22%22%22%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20ast%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20def%20make_expression(expression)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20allowed_functions%20%3D%20%7B%22abs%22%2C%20%22cos%22%2C%20%22exp%22%2C%20%22log%22%2C%20%22sin%22%2C%20%22sqrt%22%2C%20%22tan%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20allowed_constants%20%3D%20%7B%22pi%22%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20class%20SafeExpression(ast.NodeVisitor)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_Expression(self%2C%20node)%3A%20self.visit(node.body)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_BinOp(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20isinstance(node.op%2C%20(ast.Add%2C%20ast.Sub%2C%20ast.Mult%2C%20ast.Div%2C%20ast.Pow))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Use%20only%20%2B%2C%20-%2C%20*%2C%20%2F%2C%20and%20**%20operators%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.visit(node.left)%3B%20self.visit(node.right)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_UnaryOp(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20isinstance(node.op%2C%20(ast.UAdd%2C%20ast.USub))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Use%20only%20unary%20%2B%20and%20-%20operators%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.visit(node.operand)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_Name(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20node.id%20not%20in%20%7B%22x%22%2C%20%22np%22%7D%3A%20raise%20ValueError(%22The%20expression%20may%20use%20only%20x%20and%20np%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_Constant(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20isinstance(node.value%2C%20(int%2C%20float))%3A%20raise%20ValueError(%22Use%20numeric%20constants%20only%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_Attribute(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20isinstance(node.value%2C%20ast.Name)%20or%20node.value.id%20!%3D%20%22np%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Use%20NumPy%20functions%20as%20np.function(x)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20node.attr%20not%20in%20allowed_functions%20%7C%20allowed_constants%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Allowed%20NumPy%20names%3A%20%22%20%2B%20%22%2C%20%22.join(sorted(allowed_functions%20%7C%20allowed_constants)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20visit_Call(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20isinstance(node.func%2C%20ast.Attribute)%20or%20node.keywords%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Use%20NumPy%20functions%20such%20as%20np.sin(x)%2C%20without%20keyword%20arguments%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.visit(node.func)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20argument%20in%20node.args%3A%20self.visit(argument)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20generic_visit(self%2C%20node)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22Unsupported%20expression%20element%3A%20%7Btype(node).__name__%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tree%20%3D%20ast.parse(expression%2C%20mode%3D%22eval%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SafeExpression().visit(tree)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20compiled%20%3D%20compile(tree%2C%20%22%3Cfunction%20input%3E%22%2C%20%22eval%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20lambda%20x%3A%20eval(compiled%2C%20%7B%22__builtins__%22%3A%20%7B%7D%2C%20%22np%22%3A%20np%7D%2C%20%7B%22x%22%3A%20x%7D)%0A%0A%20%20%20%20return%20make_expression%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Numerical%20functions%20illustrations%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Bisection%20method%0A%0A%20%20%20%20Bisection%20starts%20with%20an%20interval%20whose%20endpoint%20values%20have%20opposite%20signs.%20It%20evaluates%20the%20midpoint%2C%20then%20keeps%20the%20half%20that%20still%20contains%20a%20sign%20change.%20Drag%20the%20step%20control%3A%20earlier%20midpoint%20evaluations%20are%20blue%20and%20the%20current%20midpoint%20is%20orange.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20function_input%20%3D%20mo.ui.text(value%3D%22np.sin(4%20*%20(x%20-%201%2F4))%20%2B%20x%20%2B%20x**20%20-%201%22%2C%20label%3D%22Function%20f(x)%22%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20left_endpoint%20%3D%20mo.ui.number(value%3D0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Left%20endpoint%20a%22)%0A%20%20%20%20right_endpoint%20%3D%20mo.ui.number(value%3D1%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Right%20endpoint%20b%22)%0A%20%20%20%20bisection_step_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1%2C%20stop%3D24%2C%20step%3D1%2C%20value%3D1%2C%20label%3D%22Bisection%20step%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bfunction_input%2C%20mo.hstack(%5Bleft_endpoint%2C%20right_endpoint%5D%2C%20widths%3D%22equal%22)%2C%20bisection_step_slider%5D%2C%20gap%3D1)%0A%20%20%20%20return%20bisection_step_slider%2C%20function_input%2C%20left_endpoint%2C%20right_endpoint%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(function_input%2C%20make_expression)%3A%0A%20%20%20%20function_error%20%3D%20None%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20make_expression(function_input.value)%0A%20%20%20%20except%20(SyntaxError%2C%20TypeError%2C%20ValueError%2C%20OverflowError)%20as%20error%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_error%20%3D%20str(error)%0A%20%20%20%20return%20f%2C%20function_error%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(f%2C%20function_error%2C%20left_endpoint%2C%20np%2C%20right_endpoint)%3A%0A%20%20%20%20bisection_error%2C%20bisection_records%20%3D%20function_error%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20if%20bisection_error%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20float(left_endpoint.value)%2C%20float(right_endpoint.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(a)%20or%20not%20np.isfinite(b)%20or%20a%20%3E%3D%20b%3A%20raise%20ValueError(%22The%20left%20endpoint%20must%20be%20smaller%20than%20the%20right%20endpoint%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fa%2C%20fb%20%3D%20float(f(a))%2C%20float(f(b))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(fa)%20or%20not%20np.isfinite(fb)%3A%20raise%20ValueError(%22The%20function%20must%20be%20finite%20at%20both%20endpoints%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20fa%20%3D%3D%200%20or%20fb%20%3D%3D%200%20or%20np.sign(fa)%20%3D%3D%20np.sign(fb)%3A%20raise%20ValueError(%22f(a)%20and%20f(b)%20must%20be%20nonzero%20and%20have%20opposite%20signs%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20iteration%20in%20range(1%2C%2025)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20midpoint%20%3D%20(a%20%2B%20b)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_midpoint%20%3D%20float(f(midpoint))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(f_midpoint)%3A%20raise%20ValueError(%22The%20function%20became%20non-finite%20inside%20the%20interval%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bisection_records.append(%7B%22iteration%22%3A%20iteration%2C%20%22left%22%3A%20a%2C%20%22right%22%3A%20b%2C%20%22f_left%22%3A%20fa%2C%20%22midpoint%22%3A%20midpoint%2C%20%22f_midpoint%22%3A%20f_midpoint%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20f_midpoint%20%3D%3D%200%3A%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.sign(fa)%20!%3D%20np.sign(f_midpoint)%3A%20b%2C%20fb%20%3D%20midpoint%2C%20f_midpoint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%20a%2C%20fa%20%3D%20midpoint%2C%20f_midpoint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20except%20(TypeError%2C%20ValueError%2C%20OverflowError%2C%20FloatingPointError)%20as%20error%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bisection_error%2C%20bisection_records%20%3D%20str(error)%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20return%20bisection_error%2C%20bisection_records%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(bisection_error%2C%20bisection_records%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20if%20bisection_error%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_notice%20%3D%20mo.callout(mo.md(f%22**Choose%20a%20valid%20bisection%20problem%3A**%20%7Bbisection_error%7D%22)%2C%20kind%3D%22danger%22)%0A%20%20%20%20elif%20len(bisection_records)%20%3C%2024%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_notice%20%3D%20mo.callout(mo.md(%22**An%20exact%20root%20was%20reached.**%20There%20are%20no%20later%20bisection%20steps.%22)%2C%20kind%3D%22success%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_notice%20%3D%20mo.md(%22%22)%0A%20%20%20%20_notice%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bisection_error%2C%0A%20%20%20%20bisection_records%2C%0A%20%20%20%20bisection_step_slider%2C%0A%20%20%20%20f%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20if%20bisection_error%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shown_bisection_step%20%3D%20min(bisection_step_slider.value%2C%20len(bisection_records))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_bisection%20%3D%20bisection_records%5Bshown_bisection_step%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20previous_midpoints%20%3D%20%5Brow%5B%22midpoint%22%5D%20for%20row%20in%20bisection_records%5B%3Ashown_bisection_step%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plot_a%2C%20plot_b%20%3D%20bisection_records%5B0%5D%5B%22left%22%5D%2C%20bisection_records%5B0%5D%5B%22right%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20padding%20%3D%20max((plot_b%20-%20plot_a)%20*%200.12%2C%200.05)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bisection_grid%20%3D%20np.linspace(plot_a%20-%20padding%2C%20plot_b%20%2B%20padding%2C%20800)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(all%3D%22ignore%22)%3A%20bisection_values%20%3D%20np.asarray(f(bisection_grid)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bisection_figure%2C%20(function_axis%2C%20interval_axis)%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%207)%2C%20gridspec_kw%3D%7B%22height_ratios%22%3A%20%5B3%2C%201%5D%7D%2C%20sharex%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.plot(bisection_grid%2C%20bisection_values%2C%20color%3D%22%23263238%22%2C%20linewidth%3D2.3%2C%20label%3D%22f(x)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.axhline(0%2C%20color%3D%22%23455a64%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.axvspan(current_bisection%5B%22left%22%5D%2C%20current_bisection%5B%22right%22%5D%2C%20color%3D%22%2390caf9%22%2C%20alpha%3D0.22%2C%20label%3D%22Current%20interval%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.axvline(current_bisection%5B%22left%22%5D%2C%20color%3D%22%23c62828%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.axvline(current_bisection%5B%22right%22%5D%2C%20color%3D%22%232e7d32%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20previous_midpoints%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.scatter(previous_midpoints%2C%20%5Bfloat(f(x))%20for%20x%20in%20previous_midpoints%5D%2C%20color%3D%22%231976d2%22%2C%20s%3D58%2C%20zorder%3D5%2C%20label%3D%22Earlier%20midpoints%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.scatter(%5Bcurrent_bisection%5B%22midpoint%22%5D%5D%2C%20%5Bcurrent_bisection%5B%22f_midpoint%22%5D%5D%2C%20color%3D%22%23f57c00%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20s%3D110%2C%20zorder%3D6%2C%20label%3D%22Current%20midpoint%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20function_axis.set_ylabel(%22f(x)%22)%3B%20function_axis.set_title(%22Bisection%20repeatedly%20halves%20a%20sign-changing%20interval%22)%3B%20function_axis.grid(alpha%3D0.22)%3B%20function_axis.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interval_axis.axhline(0%2C%20color%3D%22%23455a64%22%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interval_axis.plot(%5Bcurrent_bisection%5B%22left%22%5D%2C%20current_bisection%5B%22right%22%5D%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20color%3D%22%2390caf9%22%2C%20linewidth%3D12%2C%20solid_capstyle%3D%22butt%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interval_axis.scatter(%5Bcurrent_bisection%5B%22left%22%5D%2C%20current_bisection%5B%22right%22%5D%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20color%3D%5B%22%23c62828%22%2C%20%22%232e7d32%22%5D%2C%20s%3D75%2C%20zorder%3D4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20previous_midpoints%3A%20interval_axis.scatter(previous_midpoints%2C%20%5B0%5D%20*%20len(previous_midpoints)%2C%20color%3D%22%231976d2%22%2C%20s%3D52%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interval_axis.scatter(%5Bcurrent_bisection%5B%22midpoint%22%5D%5D%2C%20%5B0%5D%2C%20color%3D%22%23f57c00%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20s%3D110%2C%20zorder%3D6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interval_axis.set_yticks(%5B%5D)%3B%20interval_axis.set_xlabel(%22x%22)%3B%20interval_axis.set_title(%22Current%20interval%20and%20midpoint%20history%22%2C%20loc%3D%22left%22%2C%20fontsize%3D11)%3B%20interval_axis.grid(axis%3D%22x%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bisection_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20retained_side%20%3D%20%22left%20half%22%20if%20np.sign(current_bisection%5B%22f_left%22%5D)%20!%3D%20np.sign(current_bisection%5B%22f_midpoint%22%5D)%20else%20%22right%20half%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_result%20%3D%20mo.vstack(%5Bmo.md(f%22%22%22**Step%20%7Bshown_bisection_step%7D%20of%20%7Blen(bisection_records)%7D**%0A%0A%20%20%20%20Current%20interval%3A%20%60%5B%7Bcurrent_bisection%5B'left'%5D%3A.8f%7D%2C%20%7Bcurrent_bisection%5B'right'%5D%3A.8f%7D%5D%60%0A%0A%20%20%20%20Midpoint%3A%20%60x%20%3D%20%7Bcurrent_bisection%5B'midpoint'%5D%3A.8f%7D%60%20and%20%60f(x)%20%3D%20%7Bcurrent_bisection%5B'f_midpoint'%5D%3A.8f%7D%60%0A%0A%20%20%20%20The%20sign%20change%20is%20in%20the%20**%7Bretained_side%7D**%22%22%22)%2C%20bisection_figure%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_result%20%3D%20mo.md(%22Fix%20the%20function%20or%20endpoints%20above%20to%20display%20bisection%20steps%22)%0A%20%20%20%20_result%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Newton%E2%80%93Raphson%20method%0A%0A%20%20%20%20Newton%E2%80%93Raphson%20follows%20the%20tangent%20line%20at%20the%20current%20guess.%20It%20computes%20%60x_(k%2B1)%20%3D%20x_k%20-%20f(x_k)%20%2F%20f'(x_k)%60.%20It%20can%20converge%20much%20faster%20than%20bisection%2C%20but%20it%20needs%20a%20derivative%20and%20does%20not%20keep%20a%20root%20bracketed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20derivative_input%20%3D%20mo.ui.text(value%3D%224%20*%20np.cos(4%20*%20(x%20-%201%2F4))%20%2B%201%20%2B%2020%20*%20x**19%22%2C%20label%3D%22Derivative%20f'(x)%22%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20initial_guess%20%3D%20mo.ui.number(value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22Initial%20guess%20x_0%22)%0A%20%20%20%20newton_step_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D12%2C%20step%3D1%2C%20value%3D0%2C%20label%3D%22Newton%E2%80%93Raphson%20step%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%20full_width%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bderivative_input%2C%20initial_guess%2C%20newton_step_slider%5D%2C%20gap%3D1)%0A%20%20%20%20return%20derivative_input%2C%20initial_guess%2C%20newton_step_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(derivative_input%2C%20make_expression)%3A%0A%20%20%20%20derivative_error%20%3D%20None%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fprime%20%3D%20make_expression(derivative_input.value)%0A%20%20%20%20except%20(SyntaxError%2C%20TypeError%2C%20ValueError%2C%20OverflowError)%20as%20error%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fprime%2C%20derivative_error%20%3D%20None%2C%20str(error)%0A%20%20%20%20return%20derivative_error%2C%20fprime%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(derivative_error%2C%20f%2C%20fprime%2C%20function_error%2C%20initial_guess%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20newton_error%2C%20newton_records%20%3D%20function_error%20or%20derivative_error%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20if%20newton_error%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_x%20%3D%20float(initial_guess.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(newton_x)%3A%20raise%20ValueError(%22The%20initial%20guess%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20newton_step%20in%20range(13)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(all%3D%22ignore%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_value%2C%20newton_slope%20%3D%20float(f(newton_x))%2C%20float(fprime(newton_x))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(newton_value)%20or%20not%20np.isfinite(newton_slope)%3A%20raise%20ValueError(%22The%20function%20or%20derivative%20became%20non-finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20next_newton_x%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(newton_value)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(newton_slope)%20%3C%201e-12%3A%20raise%20ValueError(%22The%20derivative%20is%20too%20close%20to%20zero%20for%20a%20Newton%20step%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20next_newton_x%20%3D%20newton_x%20-%20newton_value%20%2F%20newton_slope%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(next_newton_x)%3A%20raise%20ValueError(%22The%20next%20Newton%20iterate%20is%20not%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_records.append(%7B%22step%22%3A%20newton_step%2C%20%22x%22%3A%20newton_x%2C%20%22value%22%3A%20newton_value%2C%20%22slope%22%3A%20newton_slope%2C%20%22next_x%22%3A%20next_newton_x%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20next_newton_x%20is%20None%3A%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_x%20%3D%20next_newton_x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20except%20(TypeError%2C%20ValueError%2C%20OverflowError%2C%20FloatingPointError)%20as%20error%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_error%2C%20newton_records%20%3D%20str(error)%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20return%20newton_error%2C%20newton_records%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(f%2C%20mo%2C%20newton_error%2C%20newton_records%2C%20newton_step_slider%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20if%20newton_error%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shown_newton_step%20%3D%20min(newton_step_slider.value%2C%20len(newton_records)%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_newton%20%3D%20newton_records%5Bshown_newton_step%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20earlier_newton_points%20%3D%20%5Brow%5B%22x%22%5D%20for%20row%20in%20newton_records%5B%3Ashown_newton_step%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20all_newton_points%20%3D%20np.asarray(%5Brow%5B%22x%22%5D%20for%20row%20in%20newton_records%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_centre%20%3D%20(np.min(all_newton_points)%20%2B%20np.max(all_newton_points))%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_half_width%20%3D%20max((np.max(all_newton_points)%20-%20np.min(all_newton_points))%20*%200.7%2C%200.55)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_grid%20%3D%20np.linspace(newton_centre%20-%20newton_half_width%2C%20newton_centre%20%2B%20newton_half_width%2C%20800)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20np.errstate(all%3D%22ignore%22)%3A%20newton_values%20%3D%20np.asarray(f(newton_grid)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_figure%2C%20newton_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%205.6))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.plot(newton_grid%2C%20newton_values%2C%20color%3D%22%23263238%22%2C%20linewidth%3D2.3%2C%20label%3D%22f(x)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.axhline(0%2C%20color%3D%22%23455a64%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20earlier_newton_points%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.scatter(earlier_newton_points%2C%20%5Bfloat(f(x))%20for%20x%20in%20earlier_newton_points%5D%2C%20color%3D%22%231976d2%22%2C%20s%3D60%2C%20zorder%3D5%2C%20label%3D%22Earlier%20guesses%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20current_newton%5B%22next_x%22%5D%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tangent_x%20%3D%20np.linspace(min(current_newton%5B%22x%22%5D%2C%20current_newton%5B%22next_x%22%5D)%2C%20max(current_newton%5B%22x%22%5D%2C%20current_newton%5B%22next_x%22%5D)%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tangent_y%20%3D%20current_newton%5B%22value%22%5D%20%2B%20current_newton%5B%22slope%22%5D%20*%20(tangent_x%20-%20current_newton%5B%22x%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.plot(tangent_x%2C%20tangent_y%2C%20color%3D%22%237b1fa2%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D1.8%2C%20label%3D%22Tangent%20line%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.scatter(%5Bcurrent_newton%5B%22next_x%22%5D%5D%2C%20%5B0%5D%2C%20color%3D%22%237b1fa2%22%2C%20marker%3D%22x%22%2C%20s%3D85%2C%20zorder%3D5%2C%20label%3D%22Tangent%20intercept%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.scatter(%5Bcurrent_newton%5B%22x%22%5D%5D%2C%20%5Bcurrent_newton%5B%22value%22%5D%5D%2C%20color%3D%22%23f57c00%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20linewidth%3D1.2%2C%20s%3D125%2C%20zorder%3D6%2C%20label%3D%22Current%20guess%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.axvline(current_newton%5B%22x%22%5D%2C%20color%3D%22%23f57c00%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20linewidth%3D1.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.set_title(%22Newton%E2%80%93Raphson%20follows%20the%20tangent%20to%20its%20horizontal-axis%20intercept%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_axis.set_xlabel(%22x%22)%3B%20newton_axis.set_ylabel(%22f(x)%22)%3B%20newton_axis.grid(alpha%3D0.22)%3B%20newton_axis.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20newton_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20current_newton%5B%22next_x%22%5D%20is%20None%3A%20next_newton_text%20%3D%20%22The%20current%20value%20is%20already%20an%20approximate%20root%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%20next_newton_text%20%3D%20f%22The%20tangent%20intercept%20gives%20%60x_%7Bshown_newton_step%20%2B%201%7D%20%3D%20%7Bcurrent_newton%5B'next_x'%5D%3A.8f%7D%60%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_result%20%3D%20mo.vstack(%5Bmo.md(f%22%22%22**Step%20%7Bshown_newton_step%7D%20of%20%7Blen(newton_records)%20-%201%7D**%0A%0A%20%20%20%20Current%20guess%3A%20%60x_%7Bshown_newton_step%7D%20%3D%20%7Bcurrent_newton%5B'x'%5D%3A.8f%7D%60%0A%0A%20%20%20%20%60f(x_%7Bshown_newton_step%7D)%20%3D%20%7Bcurrent_newton%5B'value'%5D%3A.8f%7D%60%20and%20%60f'(x_%7Bshown_newton_step%7D)%20%3D%20%7Bcurrent_newton%5B'slope'%5D%3A.8f%7D%60%0A%0A%20%20%20%20%7Bnext_newton_text%7D%22%22%22)%2C%20newton_figure%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_result%20%3D%20mo.md(%22Fix%20the%20function%2C%20derivative%2C%20or%20initial%20guess%20above%20to%20display%20Newton%E2%80%93Raphson%20steps%22)%0A%20%20%20%20_result%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A