ar-ma-models

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.15.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D2.0.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3E%3D2.2.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22statsmodels%3E%3D0.14.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Forecasting%20with%20AR%20and%20MA%20Models%0A%0A%20%20%20%20We%20first%20use%20a%20simulation%20to%20build%20intuition%20for%20persistence%20and%20mean%0A%20%20%20%20reversion.%20We%20then%20apply%20the%20four%20steps%20from%20the%20**Estimating%20an%20AR(1)**%0A%20%20%20%20slide%20to%20annual%20GDP%20growth.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Note%3A%20This%20notebook%20is%20in%20**Marimo**%20format.%20Variables%20beginning%20with%20an%0A%20%20%20%20underscore%20are%20local%20to%20their%20cell%20and%20are%20not%20saved%20in%20the%20notebook's%0A%20%20%20%20namespace.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20from%20statsmodels.graphics.tsaplots%20import%20plot_acf%0A%20%20%20%20from%20statsmodels.tsa.stattools%20import%20adfuller%0A%0A%20%20%20%20plt.style.use(%22seaborn-v0_8-whitegrid%22)%0A%20%20%20%20return%20adfuller%2C%20np%2C%20pd%2C%20plot_acf%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20AR%20and%20MA%20models%3A%20persistence%20and%20mean%20reversion%0A%0A%20%20%20%20The%20first-order%20autoregressive%20model%20is%20the%20special%20case%20%24p%3D1%24%20of%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Y_t%20%3D%20c%20%2B%20%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bp%7D%7B%5Cphi_p%7DY_%7Bt-j%7D%20%2B%20%5Cvarepsilon_t%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20E(%5Cvarepsilon_t%5Cmid%5Cmathcal%20I_%7Bt-1%7D)%3D0.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Set%20%24p%3D1%24%20to%20recover%20the%20usual%20AR(1).%20The%20lag%20control%20below%20illustrates%0A%20%20%20%20an%20AR(%24p%24)%20extension%20in%20which%20the%20total%20lag%20weight%20remains%20%24%5Cphi%24.%0A%20%20%20%20When%20%24%7C%5Cphi%7C%3C1%24%2C%20its%20long-run%20mean%20is%20%24%5Cmu%3Dc%2F(1-%5Cphi)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20phi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.5%2C%20stop%3D1.50%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Persistence%20%24%5Cphi%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ar_lags_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D5%2C%20step%3D1%2C%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Number%20of%20lags%20of%20%24Y_t%24%20(%24p%24)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bphi_slider%2C%20ar_lags_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20ar_lags_slider%2C%20phi_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ar_lags_slider%2C%20np%2C%20phi_slider%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(402)%0A%20%20%20%20_periods%20%3D%20120%0A%20%20%20%20_burn_in%20%3D%20100%0A%20%20%20%20_c%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20_phi%20%3D%20phi_slider.value%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20ar_lags_slider.value%0A%20%20%20%20_simulated%20%3D%20np.empty(_periods%20%2B%20_burn_in%20%2B%20_p)%0A%20%20%20%20_simulated%5B%3A_p%5D%20%3D%20_c%20%2F%20(1%20-%20_phi)%0A%20%20%20%20_shocks%20%3D%20_rng.normal(0%2C%201%2C%20size%3D_periods%20%2B%20_burn_in)%0A%20%20%20%20for%20_t%20in%20range(_p%2C%20len(_simulated))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_simulated%5B_t%5D%20%3D%20_c%20%2B%20(_phi%20%2F%20_p)%20*%20_simulated%5B_t%20-%20_p%3A_t%5D.sum()%20%2B%20_shocks%5B_t%20-%20_p%5D%0A%0A%20%20%20%20_sample%20%3D%20_simulated%5B_burn_in%20%2B%20_p%3A%5D%0A%20%20%20%20_mean%20%3D%20_c%20%2F%20(1%20-%20_phi)%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%203.6))%0A%20%20%20%20_ax.plot(_sample%2C%20color%3D%22%23006298%22%2C%20linewidth%3D1.4)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(_mean%2C%20color%3D%22%23990000%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20label%3Df%22Long-run%20mean%20%3D%20%7B_mean%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set(title%3Df%22Simulated%20AR(%7B_p%7D)%2C%20phi%20%3D%20%7B_phi%3A.2f%7D%22%2C%20xlabel%3D%22Period%22%2C%20ylabel%3D%22%24Y_t%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Move%20the%20sliders.%20Set%20%24p%3D1%24%20for%20the%20usual%20AR(1)%3B%20larger%20values%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22include%20additional%20lags%20of%20%24Y_t%24.%20Positive%20values%20produce%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22persistence%2C%20while%20negative%20values%20produce%20alternating%20movements.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20MA(1)%3A%20temporary%20effects%20of%20an%20innovation%0A%0A%20%20%20%20A%20moving-average%20model%20expresses%20%24Y_t%24%20as%20a%20function%20of%20current%20and%20past%0A%20%20%20%20innovations%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Y_t%20%3D%20%5Cmu%20%2B%20%5Cvarepsilon_t%20%2B%20%5Ctheta%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bq%7D%5Cvarepsilon_%7Bt-j%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Set%20%24q%3D1%24%20to%20obtain%20the%20standard%20MA(1).%20Unlike%20an%20AR%20model%2C%20the%20effect%20of%0A%20%20%20%20a%20shock%20disappears%20after%20the%20selected%20number%20of%20innovation%20lags.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20theta_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.5%2C%20stop%3D1.5%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Innovation%20coefficient%20%24%5Ctheta%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ma_lags_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D5%2C%20step%3D1%2C%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Number%20of%20lags%20of%20%24%5Cvarepsilon_t%24%20(%24q%24)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Btheta_slider%2C%20ma_lags_slider%5D)%0A%20%20%20%20return%20ma_lags_slider%2C%20theta_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ma_lags_slider%2C%20np%2C%20plt%2C%20theta_slider)%3A%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(402)%0A%20%20%20%20_periods%20%3D%20120%0A%20%20%20%20_burn_in%20%3D%2010%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_theta%20%3D%20theta_slider.value%0A%20%20%20%20_q%20%3D%20ma_lags_slider.value%0A%20%20%20%20_shocks%20%3D%20_rng.normal(0%2C%201%2C%20size%3D_periods%20%2B%20_burn_in%20%2B%20_q)%0A%20%20%20%20_simulated%20%3D%20np.empty(_periods%20%2B%20_burn_in)%0A%20%20%20%20for%20_t%20in%20range(_periods%20%2B%20_burn_in)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_simulated%5B_t%5D%20%3D%20_mu%20%2B%20_shocks%5B_t%20%2B%20_q%5D%20%2B%20_theta%20*%20_shocks%5B_t%3A_t%20%2B%20_q%5D.sum()%0A%0A%20%20%20%20_sample%20%3D%20_simulated%5B_burn_in%3A%5D%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%203.6))%0A%20%20%20%20_ax.plot(_sample%2C%20color%3D%22%23006298%22%2C%20linewidth%3D1.4)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(_mu%2C%20color%3D%22%23990000%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20label%3Df%22Mean%20%3D%20%7B_mu%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set(title%3Df%22Simulated%20MA(%7B_q%7D)%2C%20theta%20%3D%20%7B_theta%3A.2f%7D%22%2C%20xlabel%3D%22Period%22%2C%20ylabel%3D%22%24Y_t%24%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend()%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20GDP%20levels%20versus%20annual%20GDP%20growth%0A%0A%20%20%20%20We%20use%20the%20annual%20%60FYGDP%60%20series%20in%20%60FYGDP.csv%60.%20The%20GDP%20level%20trends%20over%0A%20%20%20%20time%2C%20so%20we%20study%20its%20annual%20log%20growth%20rate%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20y_t%20%3D%20100%5C%2C%5B%5Clog(FYGDP_t)-%5Clog(FYGDP_%7Bt-1%7D)%5D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(mo%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%20%20%20%20from%20io%20import%20StringIO%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20if%20sys.platform%20%3D%3D%20%22emscripten%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20pyodide.http%20import%20pyfetch%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20data_url%20%3D%20mo.notebook_location()%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22FYGDP.csv%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%20%3D%20await%20pyfetch(str(data_url))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response.raise_for_status()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gdp%20%3D%20pd.read_csv(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20StringIO(await%20response.string())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parse_dates%3D%5B%22observation_date%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20data_path%20%3D%20Path(__file__).resolve().parent%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22FYGDP.csv%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gdp%20%3D%20pd.read_csv(data_path%2C%20parse_dates%3D%5B%22observation_date%22%5D)%0A%20%20%20%20gdp%20%3D%20gdp.rename(columns%3D%7B%22observation_date%22%3A%20%22date%22%7D).sort_values(%22date%22)%0A%20%20%20%20gdp%20%3D%20gdp.reset_index(drop%3DTrue)%0A%20%20%20%20gdp%0A%20%20%20%20return%20(gdp%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(gdp%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20gdp_analysis%20%3D%20gdp.assign(y%3D100%20*%20np.log(gdp%5B%22FYGDP%22%5D).diff())%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(2%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%207)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(gdp_analysis%5B%22date%22%5D%2C%20gdp_analysis%5B%22FYGDP%22%5D%2C%20color%3D%22%23006298%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set(title%3D%22Annual%20GDP%20level%22%2C%20ylabel%3D%22FYGDP%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linewidth%3D0.8)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(gdp_analysis%5B%22date%22%5D%2C%20gdp_analysis%5B%22y%22%5D%2C%20color%3D%22%23990000%22%2C%20linewidth%3D1.1)%0A%20%20%20%20_ax2.set(title%3D%22Annual%20GDP%20growth%22%2C%20ylabel%3D%22Percent%20per%20year%22%2C%20xlabel%3D%22Year%22)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%20(gdp_analysis%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Estimate%20AR(1)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(gdp_analysis)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Step%201%3A%20Create%20the%20lagged%20variable%20y_%7Bt-1%7D.%0A%20%20%20%20ar1_data_with_lag%20%3D%20gdp_analysis.assign(y_lag%3Dgdp_analysis%5B%22y%22%5D.shift(1))%0A%20%20%20%20return%20(ar1_data_with_lag%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ar1_data_with_lag)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Step%202%3A%20Align%20each%20current%20observation%20y_t%20with%20its%20lag%20y_%7Bt-1%7D.%0A%20%20%20%20ar1_data%20%3D%20ar1_data_with_lag%5B%5B%22date%22%2C%20%22y%22%2C%20%22y_lag%22%5D%5D.dropna().reset_index(drop%3DTrue)%0A%20%20%20%20ar1_data%0A%20%20%20%20return%20(ar1_data%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ar1_data%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Step%203%3A%20Estimate%20c%20and%20phi%20by%20regressing%20y_t%20on%20a%20constant%20and%20y_%7Bt-1%7D.%0A%20%20%20%20X%20%3D%20np.column_stack((np.ones(len(ar1_data))%2C%20ar1_data%5B%22y_lag%22%5D))%0A%20%20%20%20y%20%3D%20ar1_data%5B%22y%22%5D.to_numpy()%0A%20%20%20%20c_hat%2C%20phi_hat%20%3D%20np.linalg.lstsq(X%2C%20y%2C%20rcond%3DNone)%5B0%5D%0A%20%20%20%20ar1_results%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22estimate%22%3A%20%5Bc_hat%2C%20phi_hat%2C%20c_hat%20%2F%20(1%20-%20phi_hat)%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20index%3D%5B%22intercept%20c%22%2C%20%22persistence%20phi%22%2C%20%22implied%20mean%20c%2F(1-phi)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ar1_results%0A%20%20%20%20return%20c_hat%2C%20phi_hat%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(c_hat%2C%20mo%2C%20phi_hat)%3A%0A%20%20%20%20stationarity_text%20%3D%20%22meets%22%20if%20abs(phi_hat)%20%3C%201%20else%20%22does%20not%20meet%22%0A%20%20%20%20inequality%20%3D%20%22%3C%22%20if%20abs(phi_hat)%20%3C%201%20else%20%22%5C%5Cgeq%22%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20estimated%20model%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_t%20%3D%20%7Bc_hat%3A.3f%7D%20%2B%20%7Bphi_hat%3A.3f%7Dy_%7B%7Bt-1%7D%7D%20%2B%20%5Cwidehat%7B%7B%5Cvarepsilon%7D%7D_t.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20estimate%20%24%5Chat%5Cphi%3D%7Bphi_hat%3A.3f%7D%24%20measures%20the%20predictive%20association%0A%20%20%20%20%20%20%20%20between%20last%20year's%20GDP%20growth%20and%20this%20year's%20GDP%20growth.%20Since%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7C%5Chat%5Cphi%7C%7Binequality%7D1%24%2C%20the%20fitted%20AR(1)%20%7Bstationarity_text%7D%20the%20usual%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stationarity%20condition.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ar1_data%2C%20c_hat%2C%20mo%2C%20phi_hat)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Step%204%3A%20Use%20the%20final%20observed%20y_T%20as%20the%20forecast%20origin.%0A%20%20%20%20y_T%20%3D%20float(ar1_data%5B%22y%22%5D.iloc%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20y_forecast%20%3D%20c_hat%20%2B%20phi_hat%20*%20y_T%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20final%20observed%20value%20is%20%24y_T%3D%7By_T%3A.3f%7D%24.%20Therefore%20the%20one-year-ahead%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forecast%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cwidehat%7B%7By%7D%7D_%7B%7BT%2B1%5Cmid%20T%7D%7D%20%3D%20%5Chat%20c%20%2B%20%5Chat%5Cphi%20y_T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Bc_hat%3A.3f%7D%20%2B%20(%7Bphi_hat%3A.3f%7D)(%7By_T%3A.3f%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7By_forecast%3A.3f%7D%5C%20%5Ctext%7B%7Bpercent%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Step%205.%20Perform%20an%20augmented%20Dickey%E2%80%93Fuller%20(ADF)%20test%0A%0A%20%20%20%20The%20ADF%20test%20helps%20us%20assess%20whether%20the%20growth%20series%20behaves%20as%20if%20it%20has%0A%20%20%20%20a%20unit%20root.%20A%20unit%20root%20means%20shocks%20may%20have%20permanent%20effects%2C%20which%20is%0A%20%20%20%20inconsistent%20with%20the%20usual%20stationary%20AR(1)%20interpretation.%0A%0A%20%20%20%20The%20null%20hypothesis%20is%20that%20the%20series%20has%20a%20unit%20root.%20A%20small%20p-value%20is%0A%20%20%20%20evidence%20against%20the%20null%3B%20a%20large%20p-value%20means%20that%20we%20do%20not%20have%20enough%0A%20%20%20%20evidence%20to%20reject%20it.%20A%20large%20p-value%20is%20not%20proof%20that%20a%20unit%20root%20exists.%0A%0A%20%20%20%20We%20include%20a%20constant%20but%20no%20deterministic%20trend%20because%20this%20test%20is%20for%0A%20%20%20%20the%20annual%20growth%20rate%2C%20not%20the%20trending%20GDP%20level.%20The%20result%20depends%20on%0A%20%20%20%20the%20deterministic%20terms%2C%20lag%20selection%2C%20sample%20period%2C%20structural%20breaks%2C%0A%20%20%20%20and%20data%20vintage%2C%20so%20use%20it%20together%20with%20the%20plot%20and%20the%20ACF.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(adfuller%2C%20gdp_analysis%2C%20pd)%3A%0A%0A%20%20%20%20_statistic%2C%20_p_value%2C%20_used_lags%2C%20_nobs%2C%20*_%20%3D%20adfuller(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gdp_analysis%5B%22y%22%5D.dropna()%2C%20regression%3D%22c%22%2C%20autolag%3D%22AIC%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20adf_results%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22result%22%3A%20%5B_statistic%2C%20_p_value%2C%20_used_lags%2C%20_nobs%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20index%3D%5B%22ADF%20statistic%22%2C%20%22p-value%22%2C%20%22lags%20used%22%2C%20%22observations%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20adf_results%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(gdp_analysis%2C%20mo%2C%20plot_acf%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Final%20diagnostic%3A%20the%20annual%20GDP-growth%20ACF%0A%0A%20%20%20%20The%20lag-%24k%24%20autocorrelation%20compares%20%24y_t%24%20with%20%24y_%7Bt-k%7D%24.%20Each%20bar%20is%20the%0A%20%20%20%20sample%20correlation%20between%20annual%20GDP%20growth%20and%20growth%20%24k%24%20years%20earlier.%0A%20%20%20%20A%20bar%20outside%20the%20shaded%20bands%20is%20evidence%20that%20the%20correlation%20at%20that%20lag%0A%20%20%20%20differs%20from%20zero%20in%20this%20sample.%20For%20a%20stationary%20AR(1)%2C%20the%20population%0A%20%20%20%20autocorrelation%20is%20%24%5Crho_k%3D%5Cphi%5Ek%24%2C%20so%20the%20ACF%20often%20decays%20toward%20zero.%20The%0A%20%20%20%20ACF%20is%20descriptive%20evidence%2C%20not%20proof%20that%20an%20AR(1)%20is%20the%20correct%20model.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204))%0A%20%20%20%20plot_acf(gdp_analysis%5B%22y%22%5D.dropna()%2C%20lags%3D20%2C%20zero%3DFalse%2C%20ax%3D_ax%2C%20color%3D%22%23990000%22)%0A%20%20%20%20_ax.set(title%3D%22ACF%3A%20annual%20GDP%20growth%22%2C%20xlabel%3D%22Lag%20(years)%22%2C%20ylabel%3D%22Sample%20autocorrelation%22)%0A%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Conclusion%0A%0A%20%20%20%20We%20estimated%20an%20AR(1)%20for%20annual%20GDP%20growth%2C%20checked%20the%20growth%20series%20with%0A%20%20%20%20an%20ADF%20test%2C%20and%20inspected%20its%20autocorrelation%20pattern.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A